Problema
La retropropagazione applica la regola della catena strato per strato, dall'output verso gli input. La rete ha n input, h neuroni nascosti e un output, tutti con attivazione sigmoide (σ(z) = 1 / (1 + e^(-z))):
- strato nascosto: a_j = σ(inputs · hidden_weights[j] + hidden_biases[j])
- output: y = σ(a · output_weights + output_bias)
- perdita: L = (y - target)²
Gradienti:
- delta_out = 2 × (y - target) × y × (1 - y)
- Strato di output: dL/doutput_weights[j] = delta_out × a_j e dL/doutput_bias = delta_out
- delta_j = delta_out × output_weights[j] × a_j × (1 - a_j)
- Strato nascosto: dL/dhidden_weights[j][i] = delta_j × inputs[i] e dL/dhidden_biases[j] = delta_j
Implementa backprop_gradients(inputs, hidden_weights, hidden_biases, output_weights, output_bias, target).
Output
Restituisci una matrice con h + 1 righe:
- Riga j (per ogni neurone nascosto j, in ordine): gli n gradienti di
hidden_weights[j], poi il gradiente dihidden_biases[j]. - Ultima riga: gli h gradienti di
output_weights, poi il gradiente dioutput_bias.
Vincoli
1 ≤ n, h ≤ 20
-5 ≤ ogni input, peso e bias ≤ 5
0 ≤ target ≤ 1
Esempi
Input:
inputs = [1.0]
target = 1.0
output_bias = 0.0
hidden_biases = [0.0]
hidden_weights = [
[0.0]
]
output_weights = [0.0]
Output atteso:
expected = [
[0.0, 0.0],
[-0.125, -0.25]
]Input:
std::vector<double> inputs = {1.0};
double target = 1.0;
double output_bias = 0.0;
std::vector<double> hidden_biases = {0.0};
std::vector<std::vector<double>> hidden_weights = {
{0.0}
};
std::vector<double> output_weights = {0.0};
Output atteso:
std::vector<std::vector<double>> expected = {
{0.0, 0.0},
{-0.125, -0.25}
};Input:
double[] inputs = new double[] {1.0};
double target = 1.0;
double output_bias = 0.0;
double[] hidden_biases = new double[] {0.0};
double[][] hidden_weights = new double[][] {
new double[] {0.0}
};
double[] output_weights = new double[] {0.0};
Output atteso:
double[][] expected = new double[][] {
new double[] {0.0, 0.0},
new double[] {-0.125, -0.25}
};Spiegazione
a = σ(0) = 0.5 e y = σ(0) = 0.5. delta_out = 2 × (0.5 - 1) × 0.25 = -0.25. Riga di output: [-0.25 × 0.5, -0.25] = [-0.125, -0.25]. delta_1 = -0.25 × 0 × 0.25 = 0, quindi la riga nascosta è [0, 0]: un peso di output nullo blocca il gradiente.
Input:
inputs = [1.0, 0.0]
target = 0.0
output_bias = -1.0
hidden_biases = [0.0, 0.0]
hidden_weights = [
[0.0, 1.0],
[0.0, -1.0]
]
output_weights = [1.0, 1.0]
Output atteso:
expected = [
[0.0625, 0.0, 0.0625],
[0.0625, 0.0, 0.0625],
[0.125, 0.125, 0.25]
]Input:
std::vector<double> inputs = {1.0, 0.0};
double target = 0.0;
double output_bias = -1.0;
std::vector<double> hidden_biases = {0.0, 0.0};
std::vector<std::vector<double>> hidden_weights = {
{0.0, 1.0},
{0.0, -1.0}
};
std::vector<double> output_weights = {1.0, 1.0};
Output atteso:
std::vector<std::vector<double>> expected = {
{0.0625, 0.0, 0.0625},
{0.0625, 0.0, 0.0625},
{0.125, 0.125, 0.25}
};Input:
double[] inputs = new double[] {1.0, 0.0};
double target = 0.0;
double output_bias = -1.0;
double[] hidden_biases = new double[] {0.0, 0.0};
double[][] hidden_weights = new double[][] {
new double[] {0.0, 1.0},
new double[] {0.0, -1.0}
};
double[] output_weights = new double[] {1.0, 1.0};
Output atteso:
double[][] expected = new double[][] {
new double[] {0.0625, 0.0, 0.0625},
new double[] {0.0625, 0.0, 0.0625},
new double[] {0.125, 0.125, 0.25}
};Spiegazione
Entrambi i valori nascosti sono σ(0) = 0.5, quindi y = σ(0.5 + 0.5 - 1) = 0.5 e delta_out = 2 × 0.5 × 0.25 = 0.25. Riga di output: [0.125, 0.125, 0.25]. Ogni delta_j = 0.25 × 1 × 0.25 = 0.0625, che dà le righe nascoste [0.0625, 0, 0.0625] (il secondo input è 0).
Come affrontarlo
Prova prima da solo, poi apri un suggerimento alla volta.
Suggerimento 1
Lavora all'indietro a partire prima dal neurone di output, poi riusa quel segnale per calcolare il contributo di ogni neurone nascosto.
Suggerimento 2
Ti serve un delta per il layer di output e un delta per ogni neurone nascosto, entrambi basati sulle derivate della sigmoid.
Suggerimento 3
Fai attenzione a usare il peso di uscita del singolo neurone nascosto quando propaghi l'errore verso di lui.
Complessità attesa
tempo O(hn), spazio aggiuntivo O(hn)
Riferimenti
Questa sfida è adattata per CodeUtility. Segui la traccia e i vincoli sopra.