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Minimum Network Connection Cost

Choose undirected links so that every vertex can reach every other vertex, with minimum total cost.

O que você vai aprender

  • Conectar um grafo com baixo custo usando Kruskal
  • Detectar ciclos com conjuntos disjuntos
  • Avisar quando um grafo não pode ser conectado

Problema

Choose undirected links so that every vertex can reach every other vertex, with minimum total cost. A link can be used in either direction. Return −1 if the available links cannot connect the whole network. You do not need to return the selected links.

Implement minimum_network_connection_cost(vertices, links).

Input

vertices: The number of network vertices.

links: Available links [u, v, cost].

Output

Return the minimum total cost, −1 if impossible, or 0 for a one-vertex network.

Restrições

1 ≤ vertices ≤ 100,000. 0…200,000 links; endpoints are distinct vertices in 1…vertices. Costs are 1…1,000,000,000. Parallel links are allowed. The total fits signed 64-bit.

Exemplos

Exemplo 1
Entrada:
links = [
    [1, 2, 4],
    [2, 3, 2],
    [1, 3, 7]
]
vertices = 3

Saída esperada:
expected = 6
Entrada:
std::vector<std::vector<long long>> links = {
    {1, 2, 4},
    {2, 3, 2},
    {1, 3, 7}
};
long long vertices = 3;

Saída esperada:
long long expected = 6;
Entrada:
long[][] links = new long[][] {
    new long[] {1, 2, 4},
    new long[] {2, 3, 2},
    new long[] {1, 3, 7}
};
long vertices = 3;

Saída esperada:
long expected = 6;

Explicação

Choose links costing 4 and 2 to connect all three vertices. Their total is 6; the cost-7 link is unnecessary.

Exemplo 2
Entrada:
links = [
    [1, 2, 4]
]
vertices = 3

Saída esperada:
expected = -1
Entrada:
std::vector<std::vector<long long>> links = {
    {1, 2, 4}
};
long long vertices = 3;

Saída esperada:
long long expected = -1;
Entrada:
long[][] links = new long[][] {
    new long[] {1, 2, 4}
};
long vertices = 3;

Saída esperada:
long expected = -1;

Explicação

Vertex 3 has no connection. No selection can connect the entire network.

Como abordar

Tente sozinho primeiro e depois abra uma dica de cada vez.

Dica 1

Você precisa do conjunto mais barato de links que ainda mantenha todos os vértices conectados, o que sugere uma árvore geradora.

Dica 2

Adicione de forma gulosa o link mais barato que não cria ciclo, ou cresça os componentes com uma estrutura union-find.

Dica 3

Se menos de vertices - 1 links utilizáveis conectarem o grafo, a resposta é impossível.

Complexidade esperada

tempo O(links log links), espaço extra O(vertices + links)

Referências

Este desafio foi adaptado para o CodeUtility. Siga o enunciado e as restrições acima.

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