問題
Choose undirected links so that every vertex can reach every other vertex, with minimum total cost. A link can be used in either direction. Return −1 if the available links cannot connect the whole network. You do not need to return the selected links.
Implement minimum_network_connection_cost(vertices, links).
Input
vertices: The number of network vertices.
links: Available links [u, v, cost].
Output
Return the minimum total cost, −1 if impossible, or 0 for a one-vertex network.
制約
1 ≤ vertices ≤ 100,000. 0…200,000 links; endpoints are distinct vertices in 1…vertices. Costs are 1…1,000,000,000. Parallel links are allowed. The total fits signed 64-bit.
例
入力：
links = [
[1, 2, 4],
[2, 3, 2],
[1, 3, 7]
]
vertices = 3
期待される出力：
expected = 6入力：
std::vector<std::vector<long long>> links = {
{1, 2, 4},
{2, 3, 2},
{1, 3, 7}
};
long long vertices = 3;
期待される出力：
long long expected = 6;入力：
long[][] links = new long[][] {
new long[] {1, 2, 4},
new long[] {2, 3, 2},
new long[] {1, 3, 7}
};
long vertices = 3;
期待される出力：
long expected = 6;解説
Choose links costing 4 and 2 to connect all three vertices. Their total is 6; the cost-7 link is unnecessary.
入力：
links = [
[1, 2, 4]
]
vertices = 3
期待される出力：
expected = -1入力：
std::vector<std::vector<long long>> links = {
{1, 2, 4}
};
long long vertices = 3;
期待される出力：
long long expected = -1;入力：
long[][] links = new long[][] {
new long[] {1, 2, 4}
};
long vertices = 3;
期待される出力：
long expected = -1;解説
Vertex 3 has no connection. No selection can connect the entire network.
解き方のヒント
まずは自分で考えてから、ヒントを 1 つずつ開いてみましょう。
ヒント 1
全頂点をつなぎつつ最小コストにするには、最小全域木を考えます。
ヒント 2
サイクルを作らない最安のリンクを順に足すか、union-findで成分を広げます。
ヒント 3
使えるリンクが頂点数-1本未満なら、グラフ全体はつながらず不可能です。
目安の計算量
時間 O(links log links)、追加メモリ O(vertices + links)
参考資料
この課題はCodeUtility用に調整されています。上記の説明と制約に従ってください。